Objectif: Montrer que le réel V2 n'appartient pas à l'ensemble des ra-
tionnels, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme
7, avec a et b entiers. On dit alors que V2 est irrationnel.
Résultat préliminaire
Il s'agit montrer que si le carré d'un nombre est pair, alors ce nombre
est forcément pair.
1. Soit n un entier relatif. Développer (2n + 1)?
2. Considérons p un nombre impair. On peut l'écrire sous la forme
P= 2n + 1 avec n un entier relatif. Montrer que p? est un nombre
impair.
3. Soit q un nombre dont le carré est pair. Pourquoi q ne peut-il pas
être impair?
4. Conclure.
Cœur du problème
On raisonne par l'absurde, en supposant que V2 est un nombre ra-
tionnel. On va montrer que cela aboutit à une contradiction.
1. On suppose que V2 est rationnel. Expliquer pourquoi on peut écrire
V2 = ;, avec a et b premiers entre eux (c'est-à-dire que a et b n'ont
aucun diviseur commun).
2. Montrer qu'on a l'égalité a? = 257.
3. En déduire que a° est pair, puis que a est pair.
4. Justifier qu'on peut écrire a = 2k avec & entier.
5. En remplaçant dans l'égalité a? = 267, montrer alors que b? est pair.
6. Que peut-on en conclure sur b? Montrer que ce résultat est en
contradiction avec un résultat précédemment obtenu. Conclure.
L'hypothèse selon laquelle V2 est rationnel conduit, selon une suite de
raisonnements logiques, à une contradiction. C'est donc que cette hypo-
thèse était fausse. En conclusion. V2 n'est pas un nombre rationnel