EXERCICE N° 1 HERTHA Le but de cet exercice est de démontrer que √2 n'est pas un nombre rationnel. Pour cela on utilisera un raisonnement par l'absurde: on supposera que que √2 est un nombre rationnel et on démontrera que cela conduit à un quelque chose d'absurde, autrement dit d'impossible. On pourra alors affirmer que notre supposition est fausse, autrement dit que √2 n'est pas un nombre rationnel.
A On suppose que √2 est rationnel, c'est à dire qu'il s'écrit sous forme irréductible ², p et q étant 9 des entiers naturels non nuls ayant 1 comme unique diviseur commun.
1. Justifier que p² = 2 xq².
2. a. Suivant le dernier chiffre de p. quel est le dernier chiffre de son carré ?
Répondre en recopiant et en complétant le tableau ci-dessous.
Dernier chiffre de p 0 4 5 9 Dernier chiffre de p² b. Suivant le dernier chiffre de q, quel est le dernier chiffre de 2 × q²? Procéder de même qu'en 2.a..
3. Puisqu'on a p² = 2 × q², quelle est la seule possibilité pour le dernier chiffre de p² et de 2 × q²?
4. Dans ce cas, par quel chiffre se termine forcément p?
Par quels chiffres peut se terminer q?
P La fraction est elle alors irréductible? Conclure.
