Une assiette de soupe est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée M. Nous allons étudier le refroidissement de cette soupe en appliquant la loi de Newton. Cette loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. On note Tn, la température du café à l'instant n, avec Tn, exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi To=80. On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n+1 par l'égalité: Tn+1-Tn = k (Tn-M) où k est une constante réelle.

1) D'après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite (Tn) ?

2) a) On sait que T0=80, T₁=66 et T₂=54,8. Déterminer k et M.
b) Montrer alors que pour tout entier naturel n: Tn+1=0,8Tn+2.

3) On pose, pour tout entier naturel n: un= Tn- 10.
a) Montrer que (un) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme u0
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Tn=70×0,8^n+10.

4) La soupe est considérée comme froide quand sa température est inférieure à 11 °C. Au bout de combien de minutes cette soupe est-elle considérée comme froide? On justifiera correctement la réponse​