Un problème agricole
Un exploitant agricole dispose d'une parcelle de forme
trapézoïdale. Dans cette parcelle, il souhaite délimiter
une zone rectangulaire. On modélise la parcelle par un
trapèze rectangle ABCD avec AB=60m, CD=20m
et AD= 40 m.
On considère un point M mobile sur le segment [AD] et
on construit le rectangle AMNP inscrit dans le trapèze
ABCD, comme l'indique la figure ci-dessous.
D
с
M
N
B
L'objectif de cet exercice est de déterminer :
s'il existe une position de M pour laquelle l'aire de la
surfacé colorée est égale à 800 m².
s'il existe une position de M pour laquelle l'aire colo-
rée est égale à celle du triangle PBN.
On notex la longueur AM et A la fonction, qui à x associe
l'aire du rectangle AMNP.
1. À quel intervalle la variable x appartient-elle ? On
note I cet intervalle dans la suite.
2. a. On admet que le triangle BNP est rectangle isocèle
en P. Exprimer la longueur AP en fonction de .x.
b. En déduire que l'aire du rectangle APNM est égale
à A(x)=60x-x² (forme 1).
c. Justifier que, pour tout réel xe I, on a :
A(x)=900-(x-30)²
(forme 2)
3. Résoudre les deux problèmes posés en introduction
en précisant, dans chaque cas, les positions du point M
correspondantes.
4. Justifier que, pour tout xeI, on a A(x) < 900.
Préciser la valeur de x pour laquelle A(x) = 900.
Sigare
40
140