DM1. Combien y a-t-il d'entiers naturels entre deux carrés parfaits consécutifs ?
1. Pour chacune des parties ou sous-ensembles de IN définis ci-dessous, écrire l'ensemble en extension, c'est à dire
en listant ses éléments entre accolades et déterminer leur nombre; le nombre d'éléments d'un ensemble est appelé
ci dessous cardinal de l'ensemble, c'est un entier naturel.
a. E₁ est l'ensemble des entiers naturels notés m tel que 1² b. E₂ = (=EN tel que 2² c. E₂ = {m EN tel que 3² d. E, = (=EN tel que 4² 2. Compléter le tableau ci-dessous où n désigne un entier compris entre 10 et 14: le cardinal d'un ensemble fini est
le nombre d'éléments de E. E. En. Ep. E₁ :
22
cardinal (E₂)
10
2Nde5
12
13
X
3.a. Pour un entier naturel n quelconque, définir E, en suivant les exemples de E₂, E3, E, entre accolades.
6. Calculler (n+1)-n² pour tout entier naturel n.
1/2
14
c. Déduire le cardinal de E..
d. Par une phrase claire expliciter la valeur du nombre d'entiers naturels strictement compris entre les carrés de
deux enfiers consécutifs.
4.a.Justifier qu'associer à un entier naturel n le cardinal de E, revient à définir une fonction sur N à valeurs dans IN.
b. On note u cette fonction; expliciter l'expression de u(n) en fonction de n.
c. Déterminer l'image de 0 par u. Interpréter cette valeur en explicitant la signification de u(0).
d. Justifier que lorsqu'un entier naturel p admet un antécédent par u, celui-ci est unique.
e. 24 a-t-il un antécédent par u? Si c'est le cas, quel est il ? Qu'en est-il de 25 ?
£. Préciser l'ensemble des entiers qui n'ont pas d'antécédents par u ?
5. a. Expliciter u(n+1) en fonction de n.
b. En déduire une relation entre u(n+1) et u(n) vraie pour tout nEN.
u(m) - u(n)
6. On considère l'expression
où m et n désignent deux entiers naturels.
a. Proposer une phrase concise qui explicite cette expression à l'aide des mots quotient, différence et image.
b. Proposer une seconde formulation de l'expression dans laquelle figureront les mots différence, produit et inverse.
c. A quelle condition portant sur les entiers n et m l'expression est-elle définie ou calculable?
7. a. On appelle cette expression taux de variation ou taux d'accroissement de la fonction u entre n et m, expliquer
pourquoi ces locutions sont pertinentes.
b. Calculer l'expression du taux d'accroissement de u entre deux entiers m et n distincts quelconques.
c. Le résultat dépend-il de n ou de m? Comment le qualifier pour exprimer ce fait?
8. On dit que deux fonctions coincident ou sont égales sur un ensemble lorsque pour tout élément de cet ensemble,
les valeurs des deux images sont égales.
f
On considère une fonction de la variable réelle x notée f telle que f est égale à u sur N. On note D, l'ensemble de
définition de f. Remarquons qu'il existe une infinité de fonctions vérifiant cette condition.
a. Déterminer l'image que donnent toutes ces fonctions de 2022 soit f(2022), en déduire f(2023).
9. On précise l'une d'elles notée f.: pour tout nombre réel x non entier compris entre deux entiers naturels n et n +1
quelconques, f (x) =
u(n+1) - u(n)
(n+1) - n
a. On note D, l'ensemble de définition de f. A quelle partie de R D est-il égal?