EX2: étude d'un coût moyen
Une entreprise chimique fabrique chaque jour un produit liquide. Elle annonce que :
la production journalière maximale est de 30 m³, et toute la production est vendue.
A. Coût de production
On considère la fonction C définie sur [1; 30] par: C(x)=x² +50x + 100
qui donne le coût de fabrication, exprimé en euros, de x m³ fabriqués.
Calculer, pour 10 m³ produits :
- le coût de production
-puis le coût unitaire de production.
B. Etude graphique
A chaque quantité x de produit, on associe le coût unitaire de
production noté f(x), et f' sa fonction dérivée.
La courbe représentative de fest donnée ci-contre.
1. Déterminer graphiquement une valeur approchée de f(5) et
(25).
2. D'après le graphique, pour quelle quantité produite, le coût
unitaire est-il inférieur ou égal à 80 € ?
150
1404
130
120-
110-
100-
90-
80-
70-
60
50-
40-
30-
20
10-
Coût moyen (en euros)
C. Etude analytique
1. Exprimer f(x) sous la forme P(x) +-où P(x) est un
x
polynôme et kun réel.
2. Démontrer que, pour tout x de l'intervalle [1; 30], on a f(x) =
3. Etudier les variations de f.
4. Préciser la quantité de produit liquide à produire quotidiennement pour que le coût unitaire soit
minimal, ainsi que le montant de ce coût.
10 15
(x-10)(x + 10)
x²
20
Nombre de m
25 30
