bonjour,
P(x) = -x³ +9x² - 12x+4.
1. Calculer P(1). Que représente 1 pour P?
P(1) = -1³ + 9*1² - 12*1+4 = 0
donc 1 est racine de P(x)
2. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x:
P(x) = (x-1) (ax²+bx+c).
on développe
P(x) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c
= ax³ + (b-a)x² + (c-b)x - c
qui doit coller avec
P(x) = -1x³ +9x² - 12x + 4
on trouve donc que :
a = -1 et c = -4 et on va en déduire b
b-a = b+1= 9 => b= 8
ou c-b = -4-b = -12 => b = 8 ok
bonjour
P(x) = -x³ + 9x² - 12x + 4
1)
P(1) = - 1³ + 9*1² - 12*1 + 4 = -1 + 9 - 12 + 4 = -13 + 13 = 0
1 est une racine de P(x)
2)
P(x) = (x - 1)(ax² + bx + c)
on n'a pas besoin de tout développer pour l'identification
• dans le développement il y a un seul terme en x³, il provient du produit de x par ax²
c'est ax³ d'où a = -1
• dans le développement il y a un seul terme constant
produit de -1 par c
c'est -c d'où c = -4
P(x) = (x - 1)(- x² + bx - 4)
il reste à trouver b
termes en x : x*(-4) - 1*bx = -4x - bx = x(-4 - b)
-4 - b = -12
4 + b = 12
b = 8
P(x) = (x - 1)(- x² + 8x - 4)
3)
s'il y a d'autres solutions que 1 ce sont celles de -x² + 8x - 4 = 0
soit
x² - 8x + 4 = 0 on calcule le discriminant
Δ = b² − 4ac = (-8)² - 4*1*4 = 64 - 16 = 48
√48 = √(16 x 3) = 4√3
il y a deux autres racines qui sont
x1 = (8 - 4√3)/2 = 4 - 2√3
x2 = (8 + 4√3)/2 = 4 + 2√3
solutions : 1 ; 4 - 2√3 ; 4 + 2√3
