Enoncé :
ABC est un triangle et O le centre du cercle circonscrit à ce triangle. A' B', C' sont
les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].
A) Caractérisation vectorielle de l'orthocentre:
On considère le point H défini par: OH = OA+ OB OC
+
1) Justifier l'égalité suivante: OB+ OC = 20A (2)
(1)
2) Déduire de la relation (1) que AH = 20A'
3) Démontrer alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
4) De la même façon, démontrer que les droites (BH) et (AC) sont
perpendiculaires.
5) Que représente le point H pour le triangle ABC? Justifier.
B) Droite d'Euler :
On note G le centre de gravité du triangle ABC.
6) En partant de l'égalité GA=- 2GA', démontrer que: 30G = OA + 20A
7) En déduire que 30G = OH
8) En déduire l'alignement de O, G et H lorsque le triangle ABC n'est pas
équilatéral.
9) Que peut-on dire des points O, G et H quand ABC est équilatéral?
