OCEAN
PACIF/QUE
minale Maths Complémentaires
Octobre 2022
PÉROU
Devoir Maison n°1
BOLI
Modèle d'évolution d'une population d'insectes affecté par un virus
On étudie l'effet d'un virus sur une population d'insectes de 30.000 individus. En particulier, on étudie la possibilité pour cette population d'être totalement décimée. Les données expérimentales ont permis d'obtenir les informations suivantes :
5% des individus disparaissent chaque mois de mort naturelle.
La reine, seul individu fertile, pond 2400 œufs par mois.
Chaque mois, 20% des individus disparaissent suite aux effets du virus.
On suppose que la reine n'est pas affectée par le virus ou qu'en cas de disparition, un autre individu la remplace avec la même fécondité
On désigne par Pr la population d'insectes dans n mois
1. Calculer Po, P1, P2. Comment semble évoluer la population d'insectes ?
2. Montrer que Pn+1 = 0,75 Pn + 2400.
3. Donner la représentation en chemin de la suite (Pn).
4. Montrer qu'il existe une suite constante an vérifiant la relation précédente (question 2)
5. On pose : Un = Pn - An.
a. Montrer que Un+1 = 0,75 Un. En déduire la nature de la suite (Un) et sa raison.
b. Exprimer Un en fonction de n.
c. En déduire l'expression de Pn en fonction de n.
6. Calculer P1o (arrondir à l'unité). Justifier et interpréter ce résultat.
7. Déterminer à l'aide de la calculatrice, le mois n à partir duquel l'effectif de la population sera inférieur à 10.000 individus.
8. Que va-t-il se passer à long terme ?
a. Calculer lim Pn.
n->+ 00
b. La population sera-t-elle décimée ? Argumenter. Je n’arrive vraiment tout le dm est ce que quelqu’un peut m’aider svp ?