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Petit exercice Pouvez- vous m’aider svp

Soit P le polynôme défini sur R par P(x) =-x^3+ 8x^2-11x+4

1. Calculer p(1), que représente 1 pour P?

2. Déterminer les réels a,b et c, tels que pour tout réels x : p(x) = (x-1)(ax^2+bc + c)

3. En déduire les éventuels solutions de l'équation - x^3 + 8x^2-11x+4 = 0.

Sagot :

inequation

Bonjour,

1) P(x) =-x^3+ 8x^2-11x+4

1. Calculer p(1)

P(1) = - (1)^3+ 8(1)^2-11(1)+4= -1+8-11+4=  0.

que représente 1 pour P?

On constate que x= 1 est une racine de P.

2) Déterminer les réels a,b et c, tels que pour tout réels x :

on va factoriser pour pouvoir résoudre l'équation:

p(x) = (x-1)(ax^2+bc + c)

(x-1)(ax²+bc + c)= ax³+bx²+cx-ax²-bx-c

-x³+ 8x^2-11x+4= ax³+x²(b-a)+x(c-b)-c

⇔ { a= - 1         ⇔  { a= -1            ⇔  { a= -1

    { b-a= 8             { b-(-1)= 8             { b= 7

    { c-b= -11            { -4- b= -11           { -b= -7 ⇒ b= 7

    { - c= 4               { c= -4                 [ c= -4

donc  -x³+ 8x²-11x+4= (x-1)(-x²+7x-4)

                                 = - (x-1)(x² - 7x + 4)

3) Les solutions de l'équation:

-x³+ 8x^2-11x+4= 0

- (x-1)(x² - 7x + 4) = 0

x-1= 0 ⇒ x= 1

ou x² - 7x + 4= 0

Δ= (-7)²-4(1)(4)= 49-16= 33 > 0; 2 solutions

x= (-(-7)-√33)/2(1)=  (7-√33)/2

x= (-(-7)+√33)/2(1)=  (7+√33)/2

donc x1= 1 ou  x2= (7-√33)/2  ou  x3= (7+√33)/2

S= { x1; x2; x3 }.

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