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On veut démontrer, en raisonnant par l'absurde, que √3 est
un nombre irrationnel.
On suppose donc que √3 est un nombre rationnel, c'est-à-dire
qu'il s'écrit √3=,avec petq entiers naturels premiers entre
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eux et q non nul.
1. Montrer que p²=3q².
2. On veut à présent montrer que si 3 est un diviseur de p
alors il est aussi un diviseur de p. Pour cela, on raisonne par
l'absurde.
a. On suppose que 3 n'est pas un diviseur de p. Montrer qu'alors
le nombre p peut s'écrire, soit sous la forme 3k +1, soit sous la
forme 3k + 2, avec k entier.
b. Si p=3k + 1, montrer qu'on aboutit à une absurdité.
c. Opérer de même si p= 3k +2.
d. Conclure.
3. a. En déduire qu'il existe un entier naturel a tel que q² = 3a².
b. En utilisant le résultat de la question 2., montrer qu'alors 3
est un diviseur de q.
c. Conclure quant à l'irrationnalité de √3.