Bonjour, je ne comprend pas mon exercice à faire pour demain.

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose
de 2 mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressi-
vement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le
sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite (un) où, pour tout entier naturel n, un désigne la quan-
tité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injec-
tion de la n-ième heure. On a donc U0=2
1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité u₁, de médicament (en mg) présente dans le sang
du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a: Un+1=0,7Un +1,8.
3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a: un <= Un+1 <= 6.
b. En déduire que la suite (un) est convergente. On note sa limite.
4. On considère la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=6-Un
a. Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,7 dont on précisera le
premier terme.
b. Déterminer l'expression de Vn, en fonction de n, puis de Un, en fonction de n.
c. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente
dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg.
Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce
protocole.