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Exemple 3.4: Dans cet exemple, les résultats approchés seront donnés à 0,000 1 près.
Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal,
on peut le guérir; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1 % est porteur de la maladie.
On obtient les résultats suivants:
si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85% des cas;
si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un
dépistage préventif de la maladie.
On note les événements: M: « L'animal est porteur de la maladie» et T: « Le test est positif »>.
1. Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif?
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
c. L'animal a un test est positif, quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ?
2. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et
d'assimiler les tirages à des tirages avec remise.
On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité de X ?
b. Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif?
c. Quelle est la probabilité pour qu'aucun des cinq animaux ait un test positif?
d. Quelle est la probabilité pour que trois des cinq animaux n'ait pas un test positif ?
e. En moyenne, combien d'animaux auront un test positif?
3. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 € et le coût d'abattage d'un
animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 €. On suppose que le test est gratuit.
On note Y la variable aléatoire égale au coût à engager par animal subissant le test.
a. Déterminer la loi de Y.
b. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit il prévoir
d'engager ?
