Exercice 5 Marc joue plusieurs parties consécutives sur sa console de jeu.
On admet que :
la probabilité qu'il perde la première partie est de 0,9;
si Marc gagne une partie, la probabilité de perdre la suivante est égale à 0,2;
• si Marc perd une partie, la probabilité de perdre la suivante est égale à 0,4.

On note, pour tout entier naturel n non nul:

● ● G₁ l'évènement « Marc gagne la n-ième partie » ;
Pn la probabilité de l'évènement Gn
On a donc P₁ = 0,1.

1. Montrer que P₂ = 0,62. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

2. Marc a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.

3. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, Pn+1 = // Pn + ³. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

4. a. Exprimer Pn en fonction de n. On pourra chercher une suite (vn) constante à un réell vérifiant la même relation de récurrence que (P₁) puis poser W₁ = Pn - Vn. Montrer alors que (wn) est géométrique de raison exprimer Wn puis Pn en fonction n.

b. La probabilité de gagner la cinquième partie est-elle supérieure à 0,6 ?

Merci de votre aide ​