Un groupe de spécialistes
en environnement étudie le
taux de disponibilité des res-
sources nécessaires pour le
développement d'une popu-
lation de grenouilles autour
d'un étang. Ce taux dépend
notamment de la quantité de
nourriture à disposition et de
la qualité de l'environnement.
Une étude, menée en 2020 par ce groupe, a permis d'es-
timer le taux de disponibilité des ressources à 0,9, ce qui
signifie que 90 % des ressources étaient disponibles.
On modélise le taux de disponibilité des ressources par
la suite (Tn), définie sur N par To = 0,9 et, pour tout
nEN, Tn+1 = Tn - 0,1(Tn)2, où n est le nombre d'an-
nées écoulées depuis 2020.
BAC
a. Certains spécialistes estiment qu'en 2025, le taux de
disponibilité des ressources sera proche de 0,6. Cette
affirmation est-elle conforme au modèle ? Justifier.
b. Étudier les variations de la fonction f, définie sur
[0:1] par f(x) = x -0,1x².
c. Montrer que, pour tout n EN:
0 n+
d. La suite (Tn) est-elle convergente ? Justifier.
e. Le groupe de spécialistes affirme que, selon ce
modèle, le taux de disponibilité des ressources va pas-
ser à un niveau inférieur à 40 % dans les prochaines
années, et qu'il est capable de déterminer en quelle
année ce seuil sera atteint.
Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pour-
quoi ?