Exercice
La formule d'Al-Kashi
Le but de cet exercice est de
démontrer le théorème sui-
vant: «On considère un
triangle ABC où l'angle BAC
est aigu. On note c la lon-
gueur AB et b la longueur AC,
H b
a la longueur BC et 0 une mesure de l'angle BAC. >>
bc sin(0)
2
A
C
Ө
L'aire du triangle ABC est égale à =
B
a
C
• On a l'égalité suivante : a²=b²+c²-2bccos(0) appelée
la formule d'Al-Kashi.
Avec les notations du théorème on note H le projeté
orthogonal du point B sur la droite (AC) et h la longueur
BH.
b. En déduire que l'aire du triangle ABC est égale à :
bcsin(0)
2
Partie A
a. En considérant le triangle BAH rectangle en H, expri-
mer h en fonction de cet 0.
Partie B
1. a. Justifier que HC²=a²-h² et que AH²=²-h².
b. Justifier que AH = cx cos (8).
2. a. Montrer que HC²=b²-2bAH+AH².
b. Utiliser l'égalité précédente et les égalités trouvées à
la question 1 pour en déduire la formule d'Al-Kashi:
a²=b²+c²-2bccos(0)
Partie C. Application
On considère la figure ci-contre.
1. Calculer la longueur BD.
2. En déduire une mesure de
l'angle BCD.
3. Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.
A
4
30°
5
B
3
s’il vous plaît merci.