Exercice 4 On veut mesurer la profondeur d'un puits en y lâchant une pierre et en mesurant le temps écoulé entre le lâcher de la pierre et la perception par l'opérateur du bruit qu'elle fait en touchant le fond du puits.

Il faut prendre en compte deux phénomènes :

-D'abord, la pierre met un certain temps pour toucher le fond. En chute libre sans vitesse initiale, la distance parcourue par un objet s'exprime, en fonction du temps, par la formule d = gt² où t est le temps exprimé en seconde, d la distance exprimée en mètre et g l'accélération de la pesanteur sur terre exprimée en m. s-2.
- Ensuite, le bruit que fait la pierre en touchant le fond remonte jusqu'à l'opérateur à la vitesse V du son.

Dans le cas étudié, les conditions expérimentales permettent de se placer dans un modèle où g = 10 m. s2 et V = 320 m. s-¹
Il s'écoule 4,25 s entre le moment où l'opérateur lâche la pierre et le moment où il entend le bruit. On note t₁ le temps mis par la pierre pour tomber au fond du puits et t2, le temps mis par le son pour remonter. On a donc t₁ + t₂ = 4,25. On note I la profondeur du puits.

1. Justifier que l = 5t₁² et que l = 320 t₂.

2. Montrer que l'on a 5 t + 320 t₁ - 1360 = 0. (On pourra exprimer t₂ en fonction de t₁)

3. On considère la fonction P définie par P(t) = 5(t+68)(t-4). a) Donner les racines de P(t) puis développer l'expression P(t). b) En déduire la valeur de t₁.

4. Calculer la profondeur du puits.​