Lorsque la queue d'un lézard casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours.
Lors de la repousse, on modélise la longueur, en centimètres, de la queue du lézard en fonction de la durée, en jour,
par la fonction f définie sur [0; +ool par f(x) = 10e"(x) où u est la fonction définie sur [0;+ool par u(x) = -e²-.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur [0; +∞o[ et on note f' et f" sa dérivée première et seconde.
1) Déterminer la longueur, en cm, de la queue du lézard après trois semaines de repousse. On arrondira au
millimètre.
2) Vérifier que pour tout x>0, f'(x) = -u(x)e"(x). En déduire le sens de variation de f sur [0; +∞ol.
3) On admet que la vitesse de croissance au bout de x jours est donnée par f'(x).
1
a) Vérifier que pour tout x > 0, f"(x) =
u(x)eu(x) (1 + u(x)).
10
b) Étudier les variations de f' sur [0; +∞o[.
c) En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est
maximum.