S'entraîner

3. Utiliser des fonctions pour résoudre un problème

Le patron de « Chez Max » sait parfaitement que, dans son restaurant, le nombre de couverts, lors du repas de midi, dépend du prix de son menu. Il voudrait donc proposer celui-ci à un prix lui permettant d'optimiser son bénéfice. L'étude de marché qu'il a fait réaliser a permis de modéliser le lien entre le prix du menu et le nombre de couverts de la façon suivante :

⚫ en vendant 20 € son menu (prix initialement proposé), il sert 300 couverts. chaque hausse de 1 € du prix du menu diminue le nombre de couverts de 10.

Le coût de fabrication d'un menu est de 14 €.

1) Compléter le tableau :

Nombre de

couverts

Prix du menu (en €)

20 €

Chiffre d'affaires (en €)

Coût total de fabrication (en €)

Bénéfice (en €)

30 €

Dans la suite de l'exercice, on note x le montant de la hausse proposée du prix du menu (en €) par rapport au prix initial qui était de 20 €. On admet que 0 <= x <= 30

2) a) Exprimer en fonction de x le prix du menu après une hausse de x in

b) Exprimer en fonction de x le nombre de couverts servis après une hausse de x €. c) En déduire le chiffre d'affaires A(x) réalisé après une hausse du prix du menu de x €et montrer qu'il peut

s'exprimer sous la forme :

A(x) = - 10x ^ 2 + 100x + 6000

3) a) Exprimer le coût total de fabrication des menus après une hausse de x €. b) En déduire que le bénéfice B(x) peut s'exprimer sous la forme :

B(x) = - 10(x - 30)(x + 6)

4) Représenter graphiquement la fonction B sur une calculatrice et répondre aux questions suivantes en utilisant cette représentation graphique. a) À quel montant le patron doit-il fixer le prix du menu pour que son bénéfice soit maximal?

b) Quel est ce bénéfice maximal?

c) Quel est alors le nombre de couverts servis?