Bonjour,
1. a) ABCD étant un carré, on a (AB) ⊥ (AC) et AB = AD
(A ; B ; D) est donc un repère orthonormé.
b) A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; C(1 ; 1) ; D(0 ; 1)
E est le symétrique de A par rapport à B. B est donc le milieu de [AE]
D'où 2xB = xA + xE et 2yB = yA + yE
⇔ xE = 2xB - xA = 2 et yE = 2yB - yA = 0
Soit E(2 ; 0)
I est le milieu de [BC}, on a donc :
xI = (xB + xC) / 2 = 1 et yI = (yB + yC) / 2 = ½
Soit I(1 ; ½)
c) On note que (xD + xE)/2 = 1 = xI et que (yD + yE)/2 = ½ = yI
On en conclut que I est le milieu de [DE]
2.a) E ∈ (AB) et (AB) // (CD) ⇒ (BE)//(CD)
De plus, E est le symétrique de A par rapport à B ⇒ AB = BE
D'autre part, (ABCD) est un carré ⇒ AB = CD
On en déduit que (BE)//(CD) et BE = CD
Cela nous permet de conclure que DBEC est un parallélogramme.
b) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
I est donc à la fois le milieu de [BC] et de [DE].
