Terminale - Maths complémentaires
Devoir maison n°1
A rendre la vendredi 6 octobre
Un emprunt ou un crédit est une dette à long ou à court terme. Un emprunteur s'adresse à un
prêteur, généralement une banque, pour obtenir un emprunt qu'il s'engage à rembourser en
versant chaque année, durant n années, une annuité au prêteur. Généralement l'annuité est
constante.
Le prêteur estime que le capital prêté doit lui rapporter un intérêt annuel égal à t % du
montant de la dette. t est appelé le taux d'intérêt de l'emprunt.
Le but de ce problème est de trouver une formule permettant de calculer l'annuité a (et donc le
montant d'une mensualité) en fonction de :
- le montant de l'emprunt
Partie A - Un premier exemple
- le taux d'emprunt
- le nombre d'années
Léo désire acheter une maison. Pour cela, il a besoin d'emprunter 120 000 €. Il souhaite rembourser
en 10 ans. Sa banque lui propose un taux d'emprunt de 1,5%.
On note Co la capital dû à la banque initialement. On a donc Co
On note Cn le capital dû à la banque à la fin de la n-ième année.
On note In les intérêts que Léo doit à la banque pour la n-ième. Ces intérêts sont calculés comme
1,5 % du capital au début de la n-ième année.
1.a. Calculer I.
b. En déduire qu'à la fin de la première année Léo doit encore: C₁ = 121 800-a
2.a. Expliquer pourquoi pour tout entier n, on a Cn+1 = 1,015Cn - a
= 120 000.
a=
2022-2023
3.a. Quelle est la nature de la suite (Cn) ?
b. Déterminer le réel L, en fonction de a, solution de l'équation x = 1,015 xx-a.
c. Démonter l'expression explicite de Cn ci-dessous:
Cn= 1,015" x (120 000
a
0,015
+
1
a
0,015
4. a. Quel est le capital que Léo souhaite devoir à la banque à la fin de la 10ème année ? En déduire
la valeur que l'on souhaite pour C10.
b. En déduire que :
-0,015 × 1,015¹0 × 120 000
1-1,01510
c. Calculer la valeur de a pour Léo (on arrondira au centime supérieur).
d. En déduire quel est le montant qu'il doit rembourser chaque mois (on arrondira au centime
supérieur).
5.a. Au cours des 10 années, quelle somme totale Léo a t'il versée à la banque ?
b. Au total, combien d'intérêts aura t'il payé ?
c. Quel pourcentage les intérêts représentent-ils sur la somme totale que Léo a remboursé ?