Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, notons B = {e1,e2, es} une base de E.
-1 -3 6
1
Solt un endomorphisme de E et A =
2
3
3
5 -6 la matrice de y dans la base B.
-4)
3
1) On note E₁= Ker (y-Idg) et E₂ = Ker (+21ds).
a) Déterminer la nature de E₁ et donner une base de E₁ dont les coordonnées dans la base B sont
toutes dans {-1; 0; 1).
b). Déterminer la nature de E₂ et donner une base de E₂ dont les coordonnées dans la base B sont
toutes dans {-1; 0; 1).
2) a) Déterminer une base B' = {1, 02, 03} de E dont les premiers vecteurs sont dans ₁ et les autres
dans E₂-
b) Les sous-espaces vectoriels E₁ et E₂ de E sont-ils supplémentaires?
3) On note A' la matrice de dans la base B' et P la matrice de passage de B à B'.
a) Sans calcul, déterminer A' et P.
b) Pour tout entier naturel n, calculer (A).
c) Rappeler la relation liant A, P, P-1 et A'. Montrer qu'elle est encore vraie pour A", P, P-1, (A)".
d) En déduire, pour tout n E N, l'expression de An en fonction de n.
4) On considère les trois suites réelles (In)neN, (Un)neN, (Zn)neN définies par :
In+1=(-In-3yn +6zn)
Un+1=(32n +5y-6zn)
Zn+1 = (32n + 3ym - 4zn)
(zo, yo, zo) ER³ et Vn EN, (E)
{
a) On pose pour tout n EN, X₂ = n
b) Déterminer X₁ en fonction de A, n et Xo.
c) En déduire les expressions de n. Un, Zn en fonction de zo, yo, zo.
Traduire (2) à l'aide de X₂.
