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. Une démonstration par récurrence pour obtenir une expression explicite Vo=2 La suite (Vn) est définie sur N par : =√√4+ Vn+1 = 4+V₂2 a) Calculer V₁ et V₂ puis démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : Vn = 2√n+1 b) Qu'en déduire sur le comportement de la suite (Vn) à l'infini?​

Une Démonstration Par Récurrence Pour Obtenir Une Expression Explicite Vo2 La Suite Vn Est Définie Sur N Par 4 Vn1 4V2 A Calculer V Et V Puis Démontrer Que Pou class=

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

Démonstration directe:

[tex]\left\{\begin {array}{ccc}v_0&=&2\\\\v_{n+1}&=&\sqrt{4+v_n^2} \\\end {array} \right.\\\\\\\left\{\begin {array}{ccc}v_0^2&=&4\\\\v_{n+1}^2&=&{4+v_n^2 \\\end {array} \right.\\\\\\La \ suite\ (v_n)\ est\ donc\ arithm\' etique\ de\ raison\ 4\ et\ de\ premier\ terme\ 4.\\\\v_n^2=4+4*n=4(1+n)\\\\v_n=\sqrt{4(1+n)} \\\\\boxed{v_n=2\sqrt{n+1} }\\[/tex]

Démonstration par récurrence:

Initialisation:

[tex]v_0=2=2\sqrt{0+1} =2*1\\\\[/tex]

Hérédité:

[tex]v_n=2\sqrt{n+1} \ est\ vrai\\\\v_{n+1}=\sqrt{4+v_n^2} =\sqrt{4+4*(n+1)} =2\sqrt{(n+1)+1} \ est\ vrai.\\[/tex]

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} v_n =\lim_{n \to \infty} (2+\sqrt{n+1}) =+\infty[/tex]

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