Bonsoir,
[tex]1) \textnormal{ Le point de coordonn\'ees A est l'image de 0 par f}[/tex]
[tex]\textnormal{ Le point de coordonn\'ees B est l'ant\'ec\'edent de 0 par f}[/tex]
[tex]f(0) = (5 - 2 \times 0) \times e^0 \iff 5 \times 1 = 5[/tex]
[tex]f(x) = 0 \iff (5-2x)\times e^x = 0[/tex]
[tex]e^x = 0 \textnormal{ Cette \'equation n'a pas de solution car $e^x > 0$ }[/tex]
[tex]5 - 2x = 0 \iff -2x = -5 \iff x = \frac{-5}{-2} \iff \boxed{x = \frac{5}{2} }[/tex]
[tex]\textnormal{Donc A(0;5) et B(2,5;0)}[/tex]
[tex]2) \textnormal{ Soit la fonction f d\'erivable sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = (5-2x)e^x $ }[/tex]
[tex]\textnormal{On pose :}[/tex]
[tex]u(x) = e^x \\u'(x) = e^x[/tex] [tex]v(x) = 5-2x\\v'(x) = -2[/tex]
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \iff e^x(5-2x) -2e^x[/tex]
[tex]\iff 5e^x -2xe^x -2e^x[/tex]
[tex]\iff 3e^x -2xe^x[/tex]
[tex]\iff \boxed{(3-2x)e^x}[/tex]
[tex]3)[/tex]
[tex]e^x > 0 \textnormal{ Donc le signe d\'epend de 3-2x}[/tex]
[tex]3-2x \geq 0 \iff -2x \geq -3 \iff x \leq \frac{-3}{-2} \iff x \leq \frac{3}{2}[/tex]
[tex]f'(x) \geq 0 \textnormal{ sur} \ ]-\infty;\frac{3}{2}]\\f'(x) \leq 0 \textnormal{ sur} \ [\frac{3}{2};+\infty[[/tex]
[tex]\Rightarrow \textnormal{f(x) est croissante sur sur $]-\infty;\frac{3}{2}]$ et d\'ecroissante sur $[\frac{3}{2};+\infty[$}[/tex]
[tex]4) $\ f(1,5) = (5 - 2 \times 1,5) \times e^{1,5} = \boxed{2e^{1,5}}$[/tex]
[tex]5)[/tex]
[tex]f(0) = 5\\[/tex]
[tex]f'(0) = (3- 2\times 0) \times e^0 \iff 3 \times 1 = 3[/tex]
[tex]y = f'(a)(x-a) + f(a) \iff 3(x - 0) + 5 \iff \boxed{3x + 5}[/tex]
[tex]y = 3 \times 1,5 + 5 \iff 4,5 + 5 = 9,5 \neq 2e^{1,5}[/tex]
