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Prénom : 6 EXERCICE 4: On considère la suite numérique (un), définie sur N par : 3 un² 4 3un - 2' Ug = 2 et, pour tout n EN: Un+1 Partie A: conjecture 1. Calculer les valeurs exactes de u, et Uz. 2. Donner une valeur approchée à 10-5 près de us et u 3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (₂), (9.5 pt) (0.5 pt) Partie B: Validation des conjectures On considère la suite numérique (v₁), définie, pour tout entier naturel n, par: Vn = Un=3, 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1 = 20,2², 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n. -1 ≤V, ≤0, 3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a: Vass-Vn=-Vn (₂+1) b) En déduire le sens de variation de la suite (₂), (0.5p) 4. On admet que la suite (v) converge vers un nombre appartenant à l'intervalle (-1; 0), Déterminer la valeur de f, sachant qu'elle vérifie l'égalité:--Les conjectures de la partie A sont-elles validées ? 9 (BONUS +2 pl) (2 pts) (1 pt)
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