Yue
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Bonjour, je n'arrive pas à comprendre comment faut il faire pour la question 2 et 4
Merci de votre aide ☺️
(détaillé avec explications svp)

On considère l'équation (E) : x³-7x+6=0. 1. Montrer que x0 = 1 est une solution de l'équation (E).
2. Déterminer les réels a, b et c tels que : x³-7x+6= (x - 1)(ax² + bx + c).
3. En déduire la résolution de l'équation (E). 4. Reprendre les questions 1, 2 et 3 avec l'équation : 8x³ - 10x²+x+ 1 = 0.​

Sagot :

Mozi

Bonjour,

1 ) On a 1³ - 7 × 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0

x₀ = 1 est donc une solution de l'équation (E)

2 ) Pour tout x dans IR on a :

(x - 1) (ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c = ax³ + (b - a) x² + (c - b) x - c

x³ - 7x + 6 = (x - 1)(ax² + bx + c) ⇔ x³ - 7x + 6 = ax³ + (b - a) x² + (c - b) x - c

⇔ a = 1 et b - a = 0 et c - b = -7 et -c = 6

⇔ a = b = 1 et c = -6

3 ) (E) ⇔ (x - 1) (x² + x - 6) = 0

⇔ (x - 1) (x² + 2x × ½ + 1/4 - 1/4 - 6) = 0

⇔ (x - 1) ((x + ½)² - 25/4) = 0

⇔ (x - 1) ((x + ½)² - (5/2)²) = 0

⇔ (x - 1) (x + 1/2 + 5/2) (x + 1/2 - 5/2) = 0

⇔ (x - 1) (x + 3) (x - 2) = 0

⇔ x = -3 ou x = 1 ou x = 2

L'ensemble des solutions de (E) est { -3 ; 1 ; 2}

4 ) On pose P(x) = 8x³ - 10x² + x + 1

On note que P(1) = 8 - 10 + 1 + 1 = 0

1 est donc une racine de P. par conséquenr P(x) = (x - 1) (ax² + bx + c)

avec a , b , c ∈ IR

On a :

(x - 1) (ax² + bx + c) = ax³ + (b - a) x² + (c - b) x - c

D'où a = 8 ; b - a = -10 ; c - b = 1 et -c = 1

Soit a = 8 ; b = -2 et c = -1

On en déduit que P(x)  = (x - 1) (8x²  - 2x - 1)

Or 8x²  - 2x - 1 = 2 ((2x)² - 2 × 2x × 1/4 + 1/16 - 1/16 - ½) = 2 [(2x - 1/4)² - 9/16] = 2 [(2x - 1/4)² - (3/4)²] = 2 (2x - 1/4 + 3/4) (2x - 1/4 - 3/4) = 2 (2x + 1/2) (2x - 1) = (4x + 1) (2x - 1)

On en déduit que :

8x³ - 10x²+x+ 1 = 0 ⇔ (x - 1) (4x + 1) (2x -1) = 0

⇔ x = 1 ou x = -1/4 ou x = 1/2

L'ensemble des solutions de (E) est { -1/4 ; 1/2 ; 1}

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