Soit la suite (un)n définie par :
uo = 1 et un = 1/(1+(1/un-1))

1. Calculer les 5 premiers termes et conjecturer une expression explicite de la suite (un)n.

2. Prouver cette conjecture.

Question

23-09-2022
Mathématiques

Answered

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Soit la suite (un)n définie par :
uo = 1 et un = 1/(1+(1/un-1))

1. Calculer les 5 premiers termes et conjecturer une expression explicite de la suite (un)n.

2. Prouver cette conjecture.

Sagot :

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caylus caylus · Answer 1 · 2022-09-23T14:17:36+02:00

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

1) voir fichier joint

Conjecture: U(n)=1/(1+n)

2)

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}u_0&=&1\\\\u_{n+1}&=&\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u_n} } \\\\\end {array} \right.\\\\On\ pose\ v_n=\dfrac{1}{u_n} \\\\v_0=\dfrac{1}{1} =1\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}} =\dfrac{1}{\dfrac{u_n}{u_n+1} } =\dfrac{u_n+1}{u_n} =1+\dfrac{1}{u_n} =1+v_n\\\\[/tex]

La suite V(n) est arithmétique de raison 1 et de premier terme 1

[tex]v_n=1+n*1=1+n\\\\u_n=\dfrac{1}{v_n} =\dfrac{1}{1+n} \\[/tex]

Soit la suite (un)n définie par : uo = 1 et un = 1/(1+(1/un-1)) 1. Calculer les 5 premiers termes et conjecturer une expression explicite de la suite (un)n. 2. Prouver cette conjecture.

Sagot :

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Soit la suite (un)n définie par :
uo = 1 et un = 1/(1+(1/un-1))

1. Calculer les 5 premiers termes et conjecturer une expression explicite de la suite (un)n.

2. Prouver cette conjecture.