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Je suis en T option maths expertes, je bloque complètement sur un problème de fou furieux (arithmétique):
a,b appartient a Z \ 0 p appartient a n et supérieur a 2
f(n) = an + b pour tout n appartient a N
Rn le reste de la division de f(n) par p
montrer qu'il existe au moins un t appartient a N \ 0 tel que Rk+t = Rk
Si qqun peut m'aider,
merci d'avance

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

Quand tu fais la division euclidienne d'un entier N non nul quelconque par p tu obtiens

N=q*p+r

avec r < p

r est le reste

Du coup, pour r tu as un nombre limité de valeurs

0,1, 2, ..., p-1

N peut se balader sur tous les entiers, le reste n'aura que p valeurs possibles.

Prenons par exemple les multiples de p

p, 2p, 3p , 4p

ils ont tous le même reste qui est 0

Ici nous avons

[tex]an+b=q_n*p+r_n[/tex]

Que penses tu de [tex]r_{n+p}[/tex] par rapport à [tex]r_n[/tex] ?

Nous pouvons écrire

[tex]a(n+p)+b=q_{n+p}*p+r_{n+p}[/tex]

qui s'écrit aussi

[tex]a(n+p)+b=an+b+ap=q_n*p+r_n+ap=(q_n+a)*p+r_n[/tex]

De ce fait, comme il y a unicité de la division euclidienne, pour tout n entier naturel non nul

[tex]r_{n+p}=r_n[/tex]

Merci

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