Bonjour,
on note x = AM et O = (CH) ∩ (NP)
On a donc 0 ≤ x ≤ 8
Aire(MNPQ) = (MH + HQ) × MN = (AH - AM + HQ) × MN
Or AM/AH = AN/AC = MN/CH {d'après le th. de Thalès appliqué au triangles AMN et AHC puisque (MN) // (HC)}
Soit MN = AM × CH / AH d'après le th. de Pythagore appliqué au triangle AHC rectangle en H.
On en déduit que MN = x × 6 / 8 d'où MN = 3x/4
D'autre part et d'après le th. de Tahlès appliqué aux triangles COP et CHQ {puisque (OP) // (HB)}, on a CO/CH = CP/CB = OP/HP = HQ/HB (car OP = HQ)
On en déduit que HQ / (AB - AH) = CP/CB
Or CP/CB = CN/CA {Th. de Thalès appliqué aux triangles NCP et ACB puisque (NP) // (AB)} et CN/CA = HM/AH.
Donc CP/CB = HM/AH = (AH - x) / AH
Soit HQ / (AB - AH) = (AH - x) / AH
On en déduit que HQ = (AB - AH) (AH - x) / AH = (12 - 8) (8 - x) / 8 = 4 - x/2
On en conclut que
Aire(MNPQ) = (AH - AM + HQ) × MN
Aire(MNPQ) = (8 - x + 4 - x/2) × 3x/4
Aire(MNPQ) = (12 - 3x/2) × 3x/4
Aire(MNPQ) = 9x - 9x²/8
Aire(MNPQ) = - 9/8 (x² - 8x) { on doit trouver la forme canonique du polynôme}
Aire(MNPQ) = - 9/8 (x² - 8x + 16 - 16)
Aire(MNPQ) = - 9/8 ((x - 4)²- 16))
Aire(MNPQ) = - 9/8 (x - 4)² + 9/8 ×16
Aire(MNPQ) = - 9/8 (x - 4)² + 18
L'aire est maximale pour x= 4 , soit AM = 4, et elle est égale à 18 u.a.
