Réponse :
Explications étape par étape :
1) Si x= b
on a [tex]b=\frac{a+b\sqrt{2} }{\sqrt{2} +1}[/tex] soit [tex]b*( \sqrt{2} +1) = a + b\sqrt{2}[/tex] soit [tex]b\sqrt{2} +b = a +b\sqrt{2}[/tex]
et donc en simplifiant par b[tex]\sqrt{2}[/tex] on obtient a = b or par hypothèses a ≠ b
2) Si x ∈ Q alors il existe deux entiers m et n premiers entre eux tels que x = m/n
[tex]\frac{m}{n} =\frac{a + b\sqrt{2} }{\sqrt{2}+1 }[/tex] on fait le produit en croix
[tex]m*(\sqrt{2} +1) = n * ( a +b \sqrt{2} )[/tex]
[tex]m\sqrt{2} + m = n* a + nb\sqrt{2}[/tex]
( m - nb) [tex]\sqrt{2}[/tex] = na -m
m - nb est un rationnel Car m et n sont entiers et b est rationnel
donc ( m - nb) [tex]\sqrt{2}[/tex] n'appartient pas à Q car [tex]\sqrt{2}[/tex] n'appartient pas à Q
na - m est un rationnel Car m et n sont entiers et b est rationnel
Un rationnel ne peut être égal à un irrationnel
( m - nb) [tex]\sqrt{2}[/tex] = na -m
∉ Q ∈Q contradiction
