Bonjour, voici la réponse à ton exercice :
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par [tex]f(x) = - 2x^2 + 12x - 16[/tex].
On cherche à déterminer les réels [tex]a[/tex],[tex]b[/tex] et [tex]c[/tex] tels que, pour tout [tex]x\in \mathbb{R}[/tex], on ait [tex]f(x) = (x - 2)(ax + b)[/tex].
[tex]\forall x\in \mathbb{R}[/tex], on a :
[tex]f(x) = (x - 2)(ax + b)[/tex]
⇔ [tex]f(x) = ax^2 + bx - 2ax - 2b[/tex]
⇔ [tex]ax^2 + (b - 2a)x - 2b[/tex]
⇔ [tex]\begin{cases}b\:-\:2a\:=\:12&\\ -2b\:=\:-\:16&\end{cases}[/tex]
⇔ [tex]\begin{cases}a\:=\:-2&\\ b\:=\:8&\end{cases}[/tex]
[tex]f(x) < 0[/tex]
⇔ [tex](x - 2)(-2x + 8) < 0[/tex]
⇔ [tex](x - 2) < 0 \ ou \ - 2x + 8 < 0[/tex]
⇔ [tex]x < 2 \ ou \ -2x < - 8[/tex]
⇔ [tex]x < 2 \ ou \ 2x > 8[/tex]
⇔ [tex]x < 2 \ ou \ x > 4[/tex]
[tex]\forall x\in \mathbb{R}[/tex], on a :
[tex]f(x) = - 2(x + c)^2 + d[/tex]
⇔ [tex]f(x) = - 2(x^2 + 2cx + c^2) + d[/tex]
⇔ [tex]f(x) = -2x^2 - 4cx - 2c^2 + d[/tex]
⇔ [tex]\begin{cases}-\:4c\:=12&\\ -\:2c^2\:+\:d\:=-16&\end{cases}[/tex]
⇔ [tex]\begin{cases}c\:=-\:3&\\ d\:=\:2&\end{cases}[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !
