Bonjour,
1.
[tex]u_0=6\\\\u_1=\dfrac1{2}u_0+1=\dfrac1{2}*6+1=3+1=4\\\\u_2=\dfrac1{2}u_1+1=\dfrac1{2}*4+1=2+1=3[/tex]
2.
[tex]v_0=u_0-2=4\\\\v_1=u_1-2=2\\\\v_2=u_2-2=3-2=1[/tex]
3. Cela donne l'impression que la suite [tex](v_n)[/tex] est une suite géométrique de raison 1/2
4.
Soit n entier naturel
[tex]u_n=v_n+2\\\\v_{n+1}=u{n+1}-2=\dfrac1{2}u_n+1-2\\\\=\dfrac1{2}u_n-1 =\dfrac{1}{2}v_n+1-1=\dfrac1{2}v_n\\\\\boxed{\boxed{v_{n+1}=\dfrac1{2}*v_n}}[/tex]
Notre conjecture est donc correcte, la suite [tex](v_n)[/tex] est une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 1/2.
5.
soit n entier naturel
[tex]v_n=v_0*(\dfrac{1}{2})^n=4*(\dfrac{1}{2})^n[/tex]
d'où
[tex]u_n=2+4*(\dfrac1{2})^n[/tex]
6.
soit n entier
[tex](\dfrac1{2})^{n+1}-(\dfrac1{2})^n=(\dfrac1{2})^n * (\dfrac1{2}-1)=(\dfrac1{2})^n*(-\dfrac1{2})\\\\=-(\dfrac1{2})^n[/tex]
7.
Soit n entier
[tex]u_{n+1}-u_n=4*(\dfrac1{2^{n+1}}-\dfrac1{2^n})=-4*(\dfrac1{2})^{n+1} < 0[/tex]
La suite [tex](u_n)[/tex] est donc décroissante.
or tous les termes de la suite sont positifs, donc la suite est convergente.
Sa limite est 2.
Merci
