SVP SPÉ MATHS TERM URG£NT
On considère la suite (Un) définie par uo = 1 et, pour tout entier naturel n, Un+1= Un+3^n
-7
On souhaite démontrer qu'une formule explicite pour cette suite est un =3^n/2 - 7n +1/2
pour tout entier naturel n.
1.
Démontrer la formule précédente en utilisant un raisonnement par récurrence.
2. Un raisonnement direct
On considère la suite auxiliaire (vn) telle que, pour entier naturel n, vn = Un+1 - Un
On considère la somme S₁ = vo + v₁ +…+ Vn-1 pour tout entier naturel n.
tout entier
a) Calculer cette somme de deux manières différentes.
Vous remarquerez tout d'abord qu'en calculant S₁, un grand nombre de termes s'annulent, par
téléscopage.
Ensuite, vous remarquerez que un Un+1 - Un = 3^n - 7.
b) En déduire l'expression de Un en fonction de n.