Réponse :
u0 = 2
un+1 = 2un + 2n² - n
P : un = 7 x 2ⁿ - 2 n² - 3 n - 5
hérédité : supposons que pour un entier n ; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie ; il faut montrer que
un+1 = 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2(n+1)² - 3(n + 1) - 5
un+1 = 2(7 x 2ⁿ - 2 n² - 3 n - 5) + 2 n² - n
= 7 x 2x 2ⁿ - 4 n² - 6 n - 10 + 2 n² - n
= 7 x 2ⁿ⁺¹ - 4 n² - 4 n - 2n - 2 - 8 + 2 n² - n
= 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2 n² - 4 n - 2n - 2 - 8 - n
= 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2 (n² + 2 n + 1) - 2n - 8 - n
= 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2 (n² + 2 n + 1) - 3n - 3 - 5
= 7 x 2ⁿ⁺¹ - 2(n + 1)² - 3(n + 1) - 5
donc P(n+1) est vraie
Explications étape par étape :