Obtenez les meilleures solutions à toutes vos questions sur Laurentvidal.fr, la plateforme de Q&R de confiance. Rejoignez notre plateforme pour vous connecter avec des experts prêts à fournir des réponses détaillées à vos questions dans divers domaines. Expérimentez la commodité d'obtenir des réponses précises à vos questions grâce à une communauté dévouée de professionnels.
Sagot :
Réponse :
CALC Soit (u) la suite définie par u = 1,8 et pour
2
92
tout entier naturel n, un+1
3-un
1. Démontrer par récurrence que cette suite est bornée par
1 et 2. ⇔ 1 ≤ un ≤ 2
P : 1 ≤ un ≤ 2
* initialisation : vérifions que pour n = 0 ; P(0) est vraie
1 ≤ u0 = 1.8 ≤ 2 donc P(0) est vraie
* hérédité : supposons que pour un entier n; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie
1 ≤ un ≤ 2 ⇔ - 1 ≥ - un ≥ - 2 ⇔ - 2 ≤ - un ≤ - 1
⇔ - 2 + 3 ≤ -un + 3 ≤ - 1+3 ⇔ 1 ≤ 3 - un ≤ 2 ⇔ 1 ≤ un+1 ≤ 2
donc P(n+1) est vraie
* conclusion : pour n = 0; P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n, donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est décroissante.
un+1 ≤ un
P : un+1 ≤ un
* initialisation : vérifions que pour n = 0; P(0)
3 - u0 ≤ u0 ⇔ 3 - 1.8 ≤ 1.8 ⇔ 1.2 ≤ 1.8 donc P(0) est vraie
* hérédité : supposons que pour un entier n; P(n) est vraie et montrons
que P(n+1) est vraie c'est à dire il faut montrer que un+2 ≤ un+1
un+1 ≤ un ⇔ 3 - un ≤ un ⇔ - 3 + (3 - un) ≤ un - 3
⇔ - [3 - (3 - un)] ≤ - 3 + un
⇔ - [3 - (3 - un)] ≤ - (3 - un) ⇔ [3 - (3 - un)] ≤ (3 - un)
⇔ 3 - un+1 ≤ un+1 ⇔ un+2 ≤ un+1 donc P(n) est vraie
conclusion : pour n = 0 ; P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
3. Conclure quant à la convergence de la suite (un).
puisque (un) est décroissante et bornée donc la suite (un) est convergente sa limite en + ∞ un = l ≤ 2
4. Conjecturer avec une calculatrice la limite de la suite (u).
Explications étape par étape :
Merci d'avoir visité notre plateforme. Nous espérons que vous avez trouvé les réponses que vous cherchiez. Revenez quand vous voulez. Nous apprécions votre visite. Notre plateforme est toujours là pour offrir des réponses précises et fiables. Revenez quand vous voulez. Merci d'avoir visité Laurentvidal.fr. Revenez bientôt pour plus d'informations utiles et des réponses de nos experts.
