Bonjour,
a) (x − 3)(x + 1) > 0
f(x) = (x − 3)(x + 1) est un polynôme de second degré dont le coefficient de degré 2 est positif (égal à 1).
f(x) est donc de signe positif (de même signe que son coefficient de degré 2) à l'extérieur des racines, soit pour tout x ∈ ]-∞ ; -1[ U ]3 : +∞[
on a exclu les racines car l'inégalité est stricte.
Sa = ]-∞ ; -1[ U ]3 : +∞[
c) -x² +7x - 6 ≥ 0
⇔ x² - 7x + 6 ≤ 0
⇔ x² - 2 * x * 7/2 + (7/2)² + 6 - (7/2)² ≤ 0
⇔ (x - 7/2)² + 6 - 49/4 ≤ 0
⇔ (x - 7/2)² + 24/4 - 49/4 ≤ 0
⇔ (x - 7/2)² - 25/4 ≤ 0
⇔ (x - 7/2)² - (5/2)² ≤ 0
⇔ (x - 7/2 - 5/2) (x - 7/2 + 5/2) ≤ 0
⇔ (x - 6) (x - 1) ≤ 0
Ce polynôme est négatif entre les racines soit pour tout 1 ≤ x ≤ 6
Sc = [1 ; 6]
b) t² - 7t + 12 > 0
⇔ t² - 2 * t * 7/2 + (7/2)² + 12 - 49/4 > 0
⇔ (t - 7/2)² + 48/4 - 49/4 > 0
⇔ (t - 7/2)² - 1/4 > 0
⇔ (t - 7/2 - 1/2) (t - 7/2 + 1/2) > 0
⇔ (t - 4) (t - 3) > 0
Ce polynôme est strictement positif à l'extérieur et en dehors des racines.
Sb = ]-∞ ; 3[ U ]4 : +∞[
d) -3u² +5u - 3 ≤0
⇔ 3u² - 5u + 3 ≥ 0
⇔ u² - u . 5/3 + 1 ≥ 0
⇔ u² - 2 * u * 5/6 + 25/36 + 1 - 25/36 ≥ 0
⇔ (u - 5/6)² + 11/36 ≥ 0
Or ∀ u ∈ IR (u - 5/6)² ≥ 0 soit (u - 5/6)² + 11/36 ≥ 0
On en déduit que Sd = IR
