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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour,
On fait un raisonnement par récurrence
Spot (Pn) la propriété 4" ≥ 1 + 3n.
Initialisation
Pour n = 0 ; 4^n = 1 et 1 + 3n = 1
donc 4^0 >= 1 + 3X 0
La propriété est vraie pour n = 0
Hérédité
Admettons (Pn) vraie , montrons qu'alors (Pn+1) vraie
(Pn) vraie : 4" ≥ 1 + 3n
on multiplie par 4
4^n X 4 >= 4(1 + 3n)
4^(n+1) >= 4 + 12n
1 +3(n+1) = 4 + 3n
Comparons (4 + 12n) et (2 + 3n)
(4 + 12n) - (4 + 3n)
= 4 + 12n - 4 - 3n = 9n > 0
Donc (4 + 12n) >= (4 + 3n)
(4 + 12n) >= 1 +3(n+1)
On a donc 4^(n+1) >= 4 + 12n >= 1 +3(n+1)
soit 4^(n+1) >= 1 +3(n+1)
Donc si 4" ≥ 1 + 3n alors 4^(n+1) >= 1 +3(n+1)
L'hérédité est vérifiée
La propriété est héréditaire et vraie pour n = 0; elle est donc vraie pour tout entier natirel n
Conclusion : Pour tout entier naturel n, 4" ≥ 1 + 3n.
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