Laurentvidal.fr est l'endroit idéal pour trouver des réponses rapides et précises à toutes vos questions. Obtenez des réponses détaillées et précises à vos questions grâce à une communauté dévouée d'experts sur notre plateforme de questions-réponses. Connectez-vous avec une communauté d'experts prêts à vous aider à trouver des solutions précises à vos interrogations de manière rapide et efficace.
Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour,
On fait un raisonnement par récurrence
Spot (Pn) la propriété 4" ≥ 1 + 3n.
Initialisation
Pour n = 0 ; 4^n = 1 et 1 + 3n = 1
donc 4^0 >= 1 + 3X 0
La propriété est vraie pour n = 0
Hérédité
Admettons (Pn) vraie , montrons qu'alors (Pn+1) vraie
(Pn) vraie : 4" ≥ 1 + 3n
on multiplie par 4
4^n X 4 >= 4(1 + 3n)
4^(n+1) >= 4 + 12n
1 +3(n+1) = 4 + 3n
Comparons (4 + 12n) et (2 + 3n)
(4 + 12n) - (4 + 3n)
= 4 + 12n - 4 - 3n = 9n > 0
Donc (4 + 12n) >= (4 + 3n)
(4 + 12n) >= 1 +3(n+1)
On a donc 4^(n+1) >= 4 + 12n >= 1 +3(n+1)
soit 4^(n+1) >= 1 +3(n+1)
Donc si 4" ≥ 1 + 3n alors 4^(n+1) >= 1 +3(n+1)
L'hérédité est vérifiée
La propriété est héréditaire et vraie pour n = 0; elle est donc vraie pour tout entier natirel n
Conclusion : Pour tout entier naturel n, 4" ≥ 1 + 3n.
Merci d'utiliser notre service. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour toutes vos questions. Revenez pour plus d'informations. Nous espérons que cela vous a été utile. Revenez quand vous voulez pour obtenir des réponses plus précises et des informations à jour. Merci de faire confiance à Laurentvidal.fr. Revenez pour obtenir plus d'informations et de réponses.
