Réponse :
f(x) = (x +2)/eˣ
1) eˣ est définie sur donc la fonction est définie sur R
2) a) calculer f '(x), puis vérifier que:
f '(x) = (- x - 1)/eˣ
f est le quotient de deux fonctions dérivables sur R donc f est dérivable sur R et sa dérivée f ' est f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x + 2 ⇒ u'(x) = 1
v(x) = eˣ ⇒ v'(x) = eˣ
f '(x) = (eˣ - (x + 2)eˣ)/(eˣ)²
= (1 - x - 2)eˣ/(eˣ)²
donc f '(x) = (- x - 1)/eˣ
b) étudier le signe de f '(x) sur R
f '(x) = (- x - 1)/eˣ or eˣ > 0 donc le signe de f '(x) dépend du signe de
- x - 1
x - ∞ - 1 + ∞
- x - 1 + 0 -
c) dresser le tableau de variation de f sur R
x - ∞ - 1 + ∞
f(x) - ∞ →→→→→→→→→→ e →→→→→→→→→→ 0
3) a) justifier que la tangente à la courbe C au point d'abscisse - 1 est horizontale
f '(x) = (- x - 1)/eˣ
f '(- 1) = (- (- 1) - 1)/e⁻¹ = 0 x e = 0 donc la tangente est horizontale
b) y = f(0) + f '(0)x = 2 - x
donc y = - x + 2
Explications étape par étape :