Réponse :
v1 = 1
vn+1 = 3/5)vn + 2
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul;
vn ≤ 5
*initialisation : vérifions que pour n = 1 P(1) est vraie
v1 = 2 ≤ 5 donc P(1) est vraie
* hérédité : supposons que pour l'entier n P(n) est vraie et montrons
que P(n+1) est vraie
vn ≤ 5 ⇔ 3vn ≤ 15 ⇔ 3/5)vn ≤ 15/5 ⇔ 3/5)vn ≤ 3 ⇔ 3/5)vn + 2 ≤3+2
⇔ 3/5)vn + 2 ≤ 5 ⇔ vn+1 ≤ 5 donc P(n) est vraie
* conclusion pour n = 1 on a ; P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel non nul
Explications étape par étape :
