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Sagot :
Réponse :
bonjour Vn=2n/(3n-1)
Explications étape par étape :
1) calculons V(n+1)=2(n+1)/[3(n+1)-1]=(2n+2)/(3n+2)
V(n+1)-Vn=(2n+2)/(3n+2)-2n/(3n-1)
on met au même dénominateur
[(2n+2)(3n-1)-2n(3n+2)]/(3n+2)(3n-1)=(6n²-2n+6n-2-6n²-6n)/(3n+2)(3n-1)
=(-2n-2)/(3n+2)(3n-1)=-2(n+1)/(3n+2)(3n-1)
n appartenant à N V(n+1)-Vn est <0 la suite Vn est donc décroissante.
2) autre méthode: la suite Vn est une suite explicite (fonction de n) elle se comporte donc comme la fonction f(x)=2x/(3x-1) sur [0; +oo[
dérivée f'(x)= [2(3x-1)-3(2x)]/(3x-1)²=-2/(3x-1)²
sur [0;+oo[ , f'(x) est <0, f(x) est décroissante; Vx est donc décroissante
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