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On considère la parabole P d'équation y = x² et le point A(1/2;5/4). On cherche à déterminer l'abscisse x du point M de la parabole le plus proche de A.

1. Quelles sont les coordonnées du point M, mobile sur la parabole P, en fonction de x ?
2. Déterminer AM² en fonction de x.
3. On considère la fonction f définie sur Rpar :
                  f(x) = x4-3/2*x²-x+29/16
a. Déterminer f'(x).
b. Monter que f'(x) = (x-1)(4x²+4x+1).
c. En déduire le signe de f'(x) puis le tableau de variation de f.

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

Le point M est sur la parabole il a donc pour coordonnées x et

[tex]y=x^2[/tex]

2.

[tex]AM^2=(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2\\\\=(x-\dfrac1{2})^2+(x^2-\dfrac{5}{4})^2\\\\=x^2-x+\dfrac1{4}+x^4-\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{25}{16}\\\\=x^4-\dfrac{3}{2}x^2-x+\dfrac{29}{16}\\\\=f(x)[/tex]

a. f est bien dérivable sur IR comme combinaison linéaire de fonctions qui le sont

pour x réel

[tex]f'(x)=4x^3-3x-1[/tex]

b. 1 est une racine évident nous pouvons donc factoriser par (x-1)

soit x réel

[tex]f'(x)=4x^3-3x-1=(x-1)(4x^2+4x+1)[/tex]

Une manière plus facile de procéder est de développer l'expression de droite et montrer que c'est égale à f(x)

c. Nous rconnaissons une identité remarquable

Soit x réel

[tex]f'(x)=(x-1)(4x^2+4x+1)\\\\=(x-1)(2x+1)^2[/tex]

f'(x) est de même signe que (x-1)

f décroit jusqu'à 1 et est croissante ensuite

elle admet donc un minimum en 1 qui vaut

[tex]f(1)=1-\dfrac{3}{2}-1+\dfrac{29}{16}\\\\=\dfrac{29-8*3}{16}\\\\=\dfrac{5}{16}[/tex]

Le point M de la parabole le plus proche de A est de coordonnée (1,1) et la distance AM est alors 5/16

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