Bonjour !
- Initialisation : pour n = 0
[tex] {0}^{3} - 0 = 0[/tex] est divisible par 3 car 0 est divisible par tous les nombres.
La propriété est initialisée.
- Hérédité :
On suppose que [tex] {n}^{3} - n[/tex] est divisible par 3. (HR)
Montrons que c'est vrai au rang n+1, c'est à dire [tex] {(n+1)}^{3} - (n+1)[/tex] est divisible par 3.
[tex] {(n + 1)}^{3}-(n+1) = {n}^{3} + 3 {n}^{2} + 3n + 1 - (n + 1)[/tex]
[tex] = {n}^{3} + 3 {n}^{2} + 3n - n[/tex]
[tex] = {n}^{3} - n + 3 {n}^{2} + 3n[/tex]
[tex]=\underbrace{n^3-n}_{divisible\ par\ 3\ d'apr\grave{e}s\ (HR)} +\underbrace{3(n^2+n)}_{divisible\ par\ 3}[/tex]
Si A et B sont divisibles par 3, alors A+B l'est aussi.
On a donc [tex] {n+1}^{3} - (n+1)[/tex] divisible par 3.
La propriété est héréditaire.
- Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire.
[tex]\forall n\in \mathbb{N}, {n}^{3} - n[/tex] est divisible par 3.
Bonne soirée
