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Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, 3 diverse 4^n -1

Sagot :

Skabetix

Bonjour,

initialisation : pour n = 0

4⁰ - 1 = 1 - 1 = 0 qui est divisible par 3

Hérédité : Supposons que pour un rang n donné, Pn est vraie. Montrons que Pn+1 l'est aussi.

[tex]P _{n} = 4 {}^{n} - 1[/tex]

[tex]P _{n + 1} = 4 {}^{n + 1} - 1[/tex]

[tex]P_{n + 1} = 4(4 {}^{n} - 1) + 3[/tex]

[tex]P _{n + 1} = 4 \times P _{n} + 3[/tex]

Or Pn est divisible par 3 et 3 est divisible par 3

Conclusion : Po → Vraie

Pn → Pn+1 , la propriété est vraie pour tout n.

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