Laura2199
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Bonsoir besoin d'une aide pour cette exercice svp.
Soit (Un) n apartient à N définie par U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+₁=Un- 2n+1.
Montrer par récurrence que: V n supérieur ou egal à 0 ,Un=2-(n-1)²

Sagot :

Skabetix

Bonjour,

Attention : Tu as mal recopié l'énoncé, il doit normalement être écrit Uₙ₊₁ = Uₙ - 2n -1 (et non + 1 à la fin)

Initialisation :

D'après énoncé : U₀ = 1 et d'autre part U₀ = 2 - (0 - 1)² = 2 - 1 = 1

Hérédité : Supposons que pour un rang n donné, Pₙ est vraie. Montrons que Pₙ₊₁ l'est aussi.

   Uₙ = 2 - (n - 1)²

⇔ Uₙ₊₁ = 2 - (n - 1 + 1)² = 2 - n²

D'autre part :

Uₙ₊₁ = Uₙ - 2n +1.

       =  2 - (n - 1)² - 2n - 1

       = 2 - n²+ 2n + 1 - 2n - 1

       = 2 - n²

Conclusion ⇒ P₀ est vraie

                    ⇒ Pₙ → Pₙ₊₁

La propriété est vraie ∀ n

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