Bonjour,
On étudie dans cet exercice des fonctions du second degré.
Ces dernières sont sous leur forme développée, c'est-à-dire : [tex]ax^{2} +bx+c[/tex]
Notre but est de trouver leur forme factorisée et canonique.
- forme factorisée qui dépend du discriminant [tex]\Delta=b^{2}-4ac[/tex]
→ Si [tex]\Delta < 0[/tex], pas de forme factorisée.
→ Si [tex]\Delta=0[/tex], forme factorisée sous la forme [tex]a(x-x_{0})^{2}[/tex] avec [tex]x_{0}=-\frac{b}{2a}[/tex]
→ Si [tex]\Delta > 0[/tex], forme factorisée sous la forme [tex]a(x-x_{1})(x-x_{2})[/tex] avec
[tex]x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex] et [tex]x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
- forme canonique de la forme [tex]a(x-\alpha )^{2}+\beta[/tex]
→ avec [tex]\alpha =-\frac{b}{2a}[/tex] et [tex]\beta =f(\alpha )=-\frac{\Delta}{4a}[/tex]
Il faut aussi savoir que le sommet de la parabole a pour coordonnées [tex]S(\alpha ;\beta )[/tex].
a) On représente la fonction [tex]k(x)=x^{2} -4x-5[/tex] dans sa calculatrice.
→ On remarque que les racines sont [tex]x_{1}=-1[/tex] et [tex]x_{2}=5[/tex]
D'où [tex]k(x)=(x+1)(x-5)[/tex]
→ On remarque que le sommet de la parabole a pour coordonnées [tex]S(2;-9)[/tex].
D'où [tex]f(x)=(x-2)^{2}+(-9)=(x-2)^{2}-9[/tex]
b) Soit [tex]k[/tex] la fonction [tex]k(x)=x^{2} -4x-5[/tex].
Or, on a : [tex]\Delta=(-4)^{2}-4\times 1\times (-5)=36[/tex]
Comme [tex]\Delta=36 > 0[/tex], le polynôme admet deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\dfrac{-(-4)-\sqrt{36} }{2\times 1}=\dfrac{4-6}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1[/tex]
[tex]x_{2}=\dfrac{-(-4)+\sqrt{36} }{2\times 1}=\dfrac{4+6}{2}=\dfrac{10}{2}=5[/tex]
D'où [tex]k(x)=(x+1)(x-5)[/tex]
La fonction [tex]k[/tex] s'écrit aussi sous sa forme canonique :
[tex]k(x)=1(x-\frac{4}{2\times 1} )^{2}-\frac{36}{4\times 1} \\\\k(x)=(x-2 )^{2}-9[/tex]
A toi désormais de faire la même chose pour la question 2 : c'est la seule façon de s'améliorer en maths = l'entraînement !
N'hésite pas à m'écrire en commentaire si besoin.
En espérant t'avoir aidé.
