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Bonjour, j’ai besoin d’aide pour cet exercice merci !

n désigne un nombre entier naturel n ≥ 2, on
pose:
A = n**4 -1.
Démontrer que n−1, n+1, n²+1 sont des diviseurs
de A.

Sagot :

ecto220

Réponse :

Bonjour

A = n⁴ - 1

A = (n²)² - 1² = (n² - 1)(n² + 1)  (identité remarquable : a² - b² = (a + b)(a - b))

A = (n² - 1²)(n² + 1) = (n - 1)(n + 1)(n² + 1) (même identité remarquable utilisée pour factoriser le premier terme)

Au final , on a donc A = (n - 1)(n + 1)(n² + 1)

Donc n - 1 , n +1 et n² + 1 sont bien des diviseurs de A

Réponse :

n désigne un nombre entier naturel n ≥ 2, on

pose:

A = n**4 -1.

Démontrer que n−1, n+1, n²+1 sont des diviseurs

de A.

(n - 1) divise A  ⇔  A = k x (n - 1)    avec  k entier

A = n⁴ - 1 = (n² - 1)(n²+1) = (n + 1)(n - 1)(n² + 1)

A = k x (n - 1)   avec   k = (n + 1)(n² + 1) ∈ N

n+1  divise A  ⇔ A = k' x (n + 1)     avec  k' = (n - 1)(n² + 1) ∈ N  et n ≥ 2

n² + 1 divise A  ⇔ A = k' x (n² + 1)    avec  k" = (n - 1)(n+1) ∈ N  ; n ≥ 2

Explications étape par étape :

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