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2. Montrer que pour tout entier naturel n non nul: a^n-b^n = (a-b) (n-1 k=0 sommes a^n-1-k b^k. ​

2 Montrer Que Pour Tout Entier Naturel N Non Nul Anbn Ab N1 K0 Sommes An1k Bk class=

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

[tex]a-b=a-b\\a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)\\\\a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+a^2b^{n-1-2}+ab^{n-1-1}+b^{n-1})\\[/tex]

[tex]\\\displaystyle \boxed{a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}\ a^kb^{n-k-1}}\\\\\\On \ part\ de\ fin.\\\\A=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}\ a^kb^{n-k-1}\\\\=\sum_{k=0}^{n-1}\ a^{k+1}b^{n-k-1}-\sum_{k=0}^{n-1}\ a^kb^{n-k}\\\\on\ pose\ j=k+1\\A=\sum_{j=1}^{n}\ a^jb^{n-j}-(a^0b^n+\sum_{k=1}^{n-1}\ a^kb^{n-k})\\\\=(\sum_{j=1}^{n-1}\ a^jb^{n-j}+a^nb^0)-(a^0b^n+\sum_{k=1}^{n-1}\ a^kb^{n-k})\\\\=a^n-b^n\\[/tex]

Pour appréhender la démonstration:

[tex](a-b)(a+b)=a(a+b)-b(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2\\\\(a-b)(a^2+ab+b^2)=a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)\\=a^3+a^2b+ab^2-(a^2b+ab^2+b^3)\\=a^3-b^3\\\\(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=\ la\ suite\ est\ pour\ toi\ ...[/tex]

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