Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir, tu as probablement facilement calculé l'aire de ABCD, avec l'axe de symétrie DB, de celle-ci résulte l'aire, qui vaut 2.
2a) Pour calculer la longueur AM, aucune difficulté. Au sein du triangle rectangle AMB, via la configuration du triangle, la formule peut être établie : [tex]sin(\alpha ) = \frac{AM}{AB} < == > AM = AB * sin(\alpha ) = 2sin(\alpha )[/tex]
En revanche... concernant la longueur DE, plus subtile. Soit tu visualises directement comme indiqué par le modérateur, soit tu t'embourbes, à travers des calculs infinissables, comportant des racines carrées multiples. Néanmoins, sa définition est un peu hasardeuse, voici pourquoi DAE vaut aussi alpha :
Considère le triangle rectangle AMB, rectangle en M. Tu as AMB = 90°, ABM = alpha. La somme des angles composant un triangle valant 180°, tu déduis que MAB = 180 - 90 - alpha = 90 - alpha.
Ensuite, concernant le triangle DEA rectangle en E, sachant que DAB forme un angle droit, tu déduis que DAE = 90 - MAB = 90 - (90 - alpha) = alpha. Voilà donc l'explication, je te conseille de raisonner ainsi, si cette méthode te permet de mieux comprendre.
Par un raisonnement analogue au 1er, tu peux réécrire une relation, dans le triangle DAE :
[tex]sin(\alpha ) = \frac{DE}{AD} < == > DE = AD * sin(\alpha ) = sin(\alpha )[/tex]
2b) L'aire de ABCD, correspond à la somme des aires composant ABCD, autrement dit :
[tex]Aire(ABCD) = Aire(ADE) + Aire(CDEM) + Aire(ABM)[/tex]
Respectivement, tu auras donc :
[tex]Aire(ADE) = \frac{1}2}AE*DE[/tex]
[tex]Aire(CDEM) = CD*DE = DE[/tex] car CDEM est un rectangle.
[tex]Aire(ABM) = \frac{1}{2}AM*BM[/tex]
Il manque, par conséquent, les longueur AE, ainsi que BM, qu'on s'empresse de déterminer.
En effet, pour AE, AE = AM - ME = AM - CD (car CDEM est un rectangle). Ainsi : [tex]AE = 2sin(\alpha )-1[/tex]
D'autre part, pour BM, on reproduit le même scénario :
BM = BC - MC = 2 - DE. Ainsi :
[tex]BM = 2-DE = 2 - sin(\alpha )[/tex]
On déduit toutes les aires requises au calcul final :
[tex]Aire(ADE) = \frac{1}{2}AE*DE = \frac{1}{2}sin(\alpha )(2sin(\alpha )-1) = sin^2(\alpha )-\frac{1}{2}sin(\alpha )[/tex]
[tex]Aire(CDEM) = sin(\alpha )[/tex]
[tex]Aire(ABM) = \frac{1}{2}AM*BM = sin(\alpha )(2-sin(\alpha )) = 2sin(\alpha )-sin^2(\alpha )[/tex]
On conclut finalement sur l'aire de ABCD :
[tex]Aire(ABCD) = Aire(ADE) + Aire(CDEM) + Aire(ABM) = sin^2(\alpha )-\frac{1}{2}sin(\alpha ) + sin(\alpha ) + 2sin(\alpha )-sin^2(\alpha ) = \frac{7}{2}sin(\alpha )[/tex]
3- Tout est terminé, les parties exotiques ont été traitées, il ne reste qu'à synthétiser, en résolvant une simple équation. En vertu de la question 1, on conduit à cette équation :
[tex]\frac{7}{2}sin(\alpha ) = 2 < == > sin(\alpha ) = \frac{4}{7}[/tex]
Par le biais de la fonction réciproque du sinus, qu'on appelle "arcsinus", tu trouveras un angle approximatif de 34,85°.
Bonne soirée