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Exercice 4:
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1; 4), B(3 ;-2) et C(-6; 5).
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point C et de vecteur normal ñ (³3)
3) Les droites (d) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier
4) On admet que le point E(0; 7) est l'intersection entre les deux droites
Calculer la longueur CE
5) On donne CA = 5√2
Calculer la mesure en degrés de l'angle ACE, on donnera l'arrondi à 0,01 degré près.

Bonjour pourriez vous m’aider pour les questions 3,4 et 5 svp ?

Sagot :

OzYta

Bonjour,

3) Les droites [tex](d)[/tex] et [tex](AB)[/tex] sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] sont orthogonaux.

Donc si on a [tex]\vec{u} \ . \ \overrightarrow{AB}=0[/tex].

  • [tex]$\ \overrightarrow{AB} \\\begin{pmatrix} 3-1 \\ -2-4 \\ \end{pmatrix}$ \\[/tex] [tex]=\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ \end{pmatrix}$ \\[/tex]
  • [tex]\vec{u}(3;1)[/tex]

[tex]\vec{u} \ . \ \overrightarrow{AB}=2\times 3+(-6)\times 1=0[/tex]

Ainsi, les deux vecteurs sont orthogonaux et les droites [tex](d)[/tex] et [tex](AB)[/tex] sont perpendiculaires.

4) On les deux points [tex]C(-6;5)[/tex] et [tex]E(0;7)[/tex].

La distance [tex]CE[/tex] se calcule par :

[tex]CE=\sqrt{(x_{E}-x_{C})^{2}+(y_{E}-y_{C})^{2}} \\\\CE=\sqrt{(0-(-6))^{2}+(7-5)^{2}} \\\\CE=\sqrt{6^{2}+2^{2}} \\\\CE=\sqrt{36+4} \\\\CE=\sqrt{40} \\ \\CE = 2\sqrt{10} \ cm[/tex]

5) Dans le triangle [tex]ACE[/tex] rectangle en [tex]E[/tex],

[tex]cos(\widehat{ACE})=\dfrac{CE}{CA}[/tex]

[tex]cos(\widehat{ACE})=\dfrac{2\sqrt{10} }{5\sqrt{2} }[/tex]

[tex]\widehat{ACE}\approx 26,57 \°[/tex]

En espérant t'avoir aidé.

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