Bonjour, voici la réponse à ton exercice :
· Équations des droites AB et BC
Une équation de droite se pose sous la forme [tex]y = ax + b[/tex], où [tex]a[/tex] est le coefficient directeur, et [tex]b[/tex] l'ordonnée à l'origine.
Pour calculer le coefficient directeur [tex]a[/tex] connaissant deux points, il suffit d'utiliser la formule suivante :
[tex]a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}[/tex]
Pour calculer l'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex], après avoir déterminé [tex]a[/tex], on sait que les points passant par la droite AB vérifient l'équation de cette même droite. Il nous suffira donc de remplacer le [tex]x[/tex] par [tex]x_A[/tex] et [tex]y[/tex] par [tex]y_A[/tex], et résoudre l'équation pour trouver [tex]b[/tex].
· Droite AB :
[tex]a = \frac{2 - (-3)}{2 - (-2)}[/tex]
[tex]a = \frac{5}{4}[/tex]
On peut poser l'équation AB : [tex]y = \frac{5}{4}x + b[/tex].
Puis le point B vérifie cette équation, donc on aura :
[tex]2 = \frac{5}{4}\cdot 2 + b[/tex]
⇔ [tex]2 = \frac{10}{4} + b[/tex]
⇔ [tex]b = 2 - \frac{10}{4}[/tex]
⇔ [tex]b = \frac{8 - 10}{4}[/tex]
⇔ [tex]b = -\frac{2}{4} = - 0,5[/tex]
D'où : [tex]y = \frac{5}{4}x - 0,5[/tex]
· Droite BC :
[tex]a = \frac{4 - 2}{-3 - 2}[/tex]
[tex]a = -\frac{2}{5}[/tex]
On peut poser l'équation BC : [tex]y = -\frac{2}{5}x + b[/tex]
Puis le point B vérifie cette équation, donc on aura :
[tex]2 = -\frac{2}{5} \cdot 2 + b[/tex]
⇔ [tex]2 = -\frac{4}{5} + b[/tex]
⇔ [tex]b = 2 + \frac{4}{5}[/tex]
⇔ [tex]b = \frac{10 + 4}{5}[/tex]
⇔ [tex]b = \frac{14}{5}[/tex]
D'où : [tex]y = -\frac{2}{5}x + \frac{14}{5}[/tex]
· Équation de la hauteur passant par C et celle passant par A
On pose la droite [tex]d_C[/tex] orthogonal à [AB], et passant par C. On cherche l'équation de cette droite, de la forme [tex]ax + by + c = 0[/tex].
Le vecteur AB de coordonnées (4, 5) est directeur à [AB] est donc normal à la droite [tex]d_C[/tex].
On a alors [tex]d_C : 4x + 5y + c = 0[/tex].
Pour déterminer [tex]c[/tex], on sait que les coordonnées des points passant par la droite vérifient l'équation. Sachant que C passe par cette droite, on aura :
[tex]4\cdot(-3) + 5\cdot 4 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]- 12 + 20 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]8 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]c = - 8[/tex]
D'où [tex]d_C : 4x + 5y = 8[/tex]
- - - - -
On pose la droite [tex]d_A[/tex] orthogonal à [CB], et passant par A. On cherche l'équation de cette droite, de la forme [tex]ax + by + c = 0[/tex].
Le vecteur CB de coordonnées (5, -2) est directeur à [CB] est donc normal à la droite [tex]d_A[/tex].
On a alors [tex]d_A : 5x - 2y + c = 0[/tex].
On détermine [tex]c[/tex], sachant que le point A vérifie l'équation :
[tex]5\cdot (-2) - 2\cdot (-3) + c = 0[/tex]
⇔ [tex]- 10 + 6 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]- 4 + c = 0[/tex]
⇔ [tex]c = 4[/tex]
D'où [tex]d_A : 5x - 2y = - 4[/tex]
· Coordonnées de l'orthocentre
L'orthocentre D est le point d'intersection de [tex]d_C[/tex] et [tex]d_A[/tex], dont les coordonnées sont le couple ([tex]x[/tex], [tex]y[/tex]) solution du système :
[tex]\left \{ {{4x + 5y = 8} \atop {5x - 2y = -4}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{x = 2 - \frac{5}{4}y } \atop {5(2 - \frac{5}{4}y) - 2y = - 4 }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{x = 2 - \frac{5}{4}y } \atop {10 + \frac{-25 - 8}{4}y = -4 }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{x = ..} \atop {- \frac{33}{4}y = - 14 }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{x = 2 - \frac{5}{4}\frac{56}{33} } \atop {y = \frac{56}{33} }} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{x = - \frac{4}{33} } \atop {y = \frac{56}{33} }} \right.[/tex]
Donc les coordonnées de l'orthocentre D sont ([tex]- \frac{4}{33}[/tex], [tex]\frac{56}{33}[/tex]).
En espérant t'avoir aidé au maximum !
